Question

7．如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9．
（1）求证：△COD∽△CBE．
（2）求半圆O的半径r的长．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质和垂直的定义得出∠E=90°=∠CDO，再由∠C=∠C，得出△COD∽△CBE．
（2）由勾股定理求出BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=15，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵CD切半圆O于点D，
∴CD⊥OD，
∴∠CDO=90°，
∵BE⊥CD，
∴∠E=90°=∠CDO，
又∵∠C=∠C，
∴△COD∽△CBE．
（2）解：在Rt△BEC中，CE=12，BE=9，
∴BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=15，
∵△COD∽△CBE．
∴$\frac{OD}{BE}=\frac{OC}{BC}$，即$\frac{r}{9}=\frac{15-r}{15}$，
解得：r=$\frac{45}{8}$．

点评 本题考查了切线的性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．