如图.抛物线y=ax2-$\frac{1}{3}$x+8的对称轴为x=-$\frac{4}{5}$.直线y=-$\frac{3}{4}$x+b与x.y轴分别相交于点A(4.0).B点．点P是直线AB上方抛物线上的一动点(点P不与直线和抛物线的交点重合).过点P作直线PC⊥AB交AB于点C.作PD⊥x轴于点D.交直线AB于点E．设点P的横坐标为n．(1)求a.b的值,(2)设△PCE的周� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

如图，抛物线y=ax²-$\frac{1}{3}$x+8的对称轴为x=-$\frac{4}{5}$，直线y=-$\frac{3}{4}$x+b与x、y轴分别相交于点A（4，0）、B点．点P是直线AB上方抛物线上的一动点（点P不与直线和抛物线的交点重合），过点P作直线PC⊥AB交AB于点C，作PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．设点P的横坐标为n．
（1）求a、b的值；
（2）设△PCE的周长为l，求l关于n的函数关系式；
（3）过点P、E、C作平行四边形PEFC，直接写出平行四边形PEFC的周长L的取值范围．

分析（1）由抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{4}{5}$，由此即可得出关于a的分式方程，解方程即可求出a值，根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出b值；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，解方程组即可求出直线AB与抛物线的交点坐标，由此即可得出n的取值范围，再根据PC⊥AB，PD⊥x轴即可得出△PCE∽△ADE，根据三角形的性质即可得出$\frac{{C}_{△PCE}}{{C}_{△ADE}}$=$\frac{PE}{AE}$，由点P的横坐标即可得出点P、E、D的坐标，由此即可得出AD、DE、AE间的关系，根据三角形的周长公式求出C_△ADE与AE间的关系，由此即可得出l关于n的函数关系式；
（3）根据（2）PE以及n的取值范围可求出PE的取值范围，用PE表示出PC、CE，分三种情况考虑平行四边形PEFC的周长L，利用平行四边形的周长公式即可得出结论．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²-$\frac{1}{3}$x+8的对称轴为x=-$\frac{4}{5}$，
∴-$\frac{-\frac{1}{3}}{2a}$=-$\frac{4}{5}$，解得：a=-$\frac{5}{24}$．
∵直线y=-$\frac{3}{4}$x+b与x轴交于点A（4，0），
∴0=-$\frac{3}{4}$×4+b，解得：b=3．
（2）联立直线AB与抛物线解析式，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{5}{24}{x}^{2}-\frac{1}{3}x+8}\\{y=-\frac{3}{4}x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∵点P是直线AB上方抛物线上的一动点（点P不与直线和抛物线的交点重合），点P的横坐标为n，
∴-4＜n＜6，P（n，-$\frac{5}{24}{n}^{2}$-$\frac{1}{3}$n+8），E（n，-$\frac{3}{4}$x+3），D（n，0）．
∵PC⊥AB，PD⊥x轴，
∴∠PCE=∠ADE=90°，
∵∠PEC=∠AED，
∴△PCE∽△ADE，
∴$\frac{{C}_{△PCE}}{{C}_{△ADE}}$=$\frac{PE}{AE}$．
∵P（n，-$\frac{5}{24}{n}^{2}$-$\frac{1}{3}$n+8），E（n，-$\frac{3}{4}$n+3），D（n，0），A（4，0），
∴AD=|4-n|，DE=|-$\frac{3}{4}$n+3|=$\frac{3}{4}$|4-n|，AE=$\frac{5}{4}$|4-n|，PE=-$\frac{5}{24}{n}^{2}$-$\frac{1}{3}$n+8-（-$\frac{3}{4}$n+3）=-$\frac{5}{24}$n²+$\frac{5}{12}$n+5．
∵C_△ADE=AD+DE+AE=3|4-n|=$\frac{12}{5}$AE，
∴l=C_△PCE=$\frac{12}{5}$PE=-$\frac{1}{2}$n²+n+12（-4＜n＜6）．
（3）∵$\frac{PC}{AD}=\frac{CE}{DE}=\frac{PE}{AE}$，
∴PC=$\frac{4}{5}$PE，CE=$\frac{3}{5}$PE．
∵PE=-$\frac{5}{24}$n²+$\frac{5}{12}$n+5=-$\frac{5}{24}$（n-1）²+$\frac{125}{24}$，-4＜n＜6，
∴0＜PE≤$\frac{125}{24}$．
过点P、E、C作平行四边形PEFC分三种情况：
①以PC、CE为边作平行四边形，
此时L=2（PC+CE）=$\frac{16}{5}$PE，
∴0＜L≤$\frac{50}{3}$；
②以PC、PE为边作平行四边形，
此时L=2（PC+PE）=$\frac{18}{5}$PE，
∴0＜L≤$\frac{75}{4}$；
③以PE、CE为边作平行四边形．
此时L=2（PE+CE）=$\frac{16}{5}$PE，
∴0＜L≤$\frac{50}{3}$．
综上得：平行四边形PEFC的周长L的取值范围为0＜L≤$\frac{50}{3}$或0＜L≤$\frac{75}{4}$．

点评本题考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质以及平行四边形的周长，解题的关键是：（1）根据二次函数的性质求出a的值，利用待定系数法求出b的值；（2）利用相似三角形的性质找出l=$\frac{12}{5}$PE；（3）分三种情况用PE表示出L．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质得出两三角形的周长比等于对应边比是关键．