题目内容
【题目】如图，AD是△ABC的边BC上的高，再添加下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形.①BD=CD；②∠BAD＝∠CAD；③AB+BD＝AC+CD； ④AB-BD=AC-CD；⑤∠BAD＝∠ACD.可以添加的条件序号正确答案是( )
A.①②B.①②③C.①②③④D.①②③④⑤.
【答案】C
【解析】
可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②⑤是否正确；③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立．
①∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴△ABC是等腰三角形；
故①正确；
②当∠BAD=∠CAD时，
∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；
则△ABD≌△ACD，
∴△BAC是等腰三角形；
故②正确；
③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；
∵AB+BD=CD+AC，
∴DE=DF，又AD⊥BC；
∴△AEF是等腰三角形；
∴∠E=∠F；
∵AB=BE，
∴∠ABC=2∠E；
同理，得∠ACB=2∠F；
∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；
故③正确；
④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：
AB2-BD2=AC2-CD2，
即（AB+BD）（AB-BD）=（AC+CD）（AC-CD）；
∵AB-BD=AC-CD（1），
∴AB+BD=AC+CD（2）；
∴（1）+（2）得：，
2AB=2AC；
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
故④正确；
⑤无法判定；
故⑤错误.
正确的是①②③④.
故选C.
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