Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm。等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止．
（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由_____________变化为__________；
（2）设当等腰直角三角形PMN移动x (s) 时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为
y(cm²)：
     ①当x=6 s时，则y的值是_________ cm²；（直接写出答案，不必写出过程）
     ②求x为何值时，y=4 cm²；（要求写出过程）
     ③当x=_________ s时，y=15 cm²．（要求写出过程）

Answer 1

（1） 等腰直角三角形； 等腰梯形
（2）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分图形的形状可分为以下两种情况：

   ① 9
   ② 当时，重叠部分的形状为等腰直角三角形EAN（如图①）
     此时AN=x（cm），过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，
    ∴EH=AN=x，
    则y=S_△ANE=AN·EH=x·x=x²
      ∴x²=4         解得x₁= 4 ，x₂= -4（不合题意，舍去） 
    ∴x=4 
    ∴ 当x=4（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4 cm²。
   ③解：当6<x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED（如图②）
    此时AN=x（cm）   ∵ ∠PNM=∠B=45°，∴EN∥BC
    ∵ CE∥BN，∴四边形ENBC是平行四边形，CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6；
   过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，则AF=BG，DF=AF=(10-4)=3，
    ∴ y=S梯形ANED=(DE+AN)·DF= (x-6+x)×3=3x-9
   ∴3x-9=15，解得x=8