Question

如图，四边形PQMN是平行四边形ABCD的内接四边形，
（1）若MP∥BC或NQ∥AB，求证：S_{四边形PQMN}=

1

2

S_ABCD
（2）若S_{四边形PQMN}=

1

2

S_ABCD，问是否能推出MP∥BC或QN∥AB？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）两个条件任一个即可，当MP∥BC时，则S_△QMP=S_△AMP=

1

2

S_◇AMPD，进而即可求解；
（2）可通过反证法先假设其不平行，通过一步步的证明推翻假设，得出结论．

解答：证明：（1）不妨设MP∥BC，则S_△QMP=S_△AMP=

1

2

S_◇AMPD
同理：S_△MNP=

1

2

S_◇MBCP
∴S_PQMN=

1

2

S_◇ABCD

（2）一定能推出MP∥BC，则断言已经成立．
证明：若MP不平行于BC，则过M作MPˊ∥BC，如图，
∴由（1）得S_MNPˊQ=

1

2

S_◇ABCD=S_PQMN、
∴S_△QNPˊ=S_△QNP，
∴PPˊ∥QN，
∴AB∥QN．

点评：本题主要考查平行四边形的性质以及三角形面积的证明问题，尤其是反证思想的运用，应熟练掌握．