Question

如图，四边形PQMN是平行四边形ABCD的内接四边形，
（1）若MP∥BC或NQ∥AB，求证：S_{四边形PQMN}=

1

2

S_ABCD
（2）若S_{四边形PQMN}=

1

2

S_ABCD，问是否能推出MP∥BC或QN∥AB？证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）不妨设MP∥BC，则S_△QMP=S_△AMP=

1

2

S_◇AMPD
同理：S_△MNP=

1

2

S_◇MBCP
∴S_PQMN=

1

2

S_◇ABCD

（2）一定能推出MP∥BC，则断言已经成立．
证明：若MP不平行于BC，则过M作MPˊ∥BC，如图，


∴由（1）得S_MNPˊQ=

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2

S_◇ABCD=S_PQMN、
∴S_△QNPˊ=S_△QNP，
∴PPˊ∥QN，
∴AB∥QN．