Question

如图，已知二次函数y=-

1

2

x²+bx+c（c＜0）的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且OC²=OA•OB．
（1）求c的值；
（2）若△ABC的面积为3，求该二次函数的解析式；
（3）设D是（2）中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P，使△PBD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）OA与OB的长，就是方程=-

1

2

x²+bx+c=0的两解，根据韦达定理就可以表示出OA•OB=-2c，OC的长是函数与y轴的交点的纵坐标的绝对值，因而OC²=c²．根据OC²=OA•OB就可以求出c的值．
（2）S_△ABC=

1

2

AB•OC，根据韦达定理可以表示出AB的长，AB边上的高就是C点的纵坐标的绝对值，根据△ABC的面积为3就可以求出b的值，从而求出函数的解析式．
（3）根据二次函数的求根公式就可以求出二次函数的顶点D坐标．过B作BE⊥AC并延长BE到F使EF=BE，则点F和B关于直线AC对称，连接DF，交直线AC于点P，所作的点P满足△PBD的周长最小．可以求出直线AC与直线DF的交点．

解答：解：（1）设A（x₁，0），B（x₂，0），
∵x²-2bx-2c=0，则x₁+x₂=2b，x₁•x₂=-2c
∵二次函数y=-

1

2

x2+bx+c的图象与y轴交于点C，
∴C（0，c），
由已知OC²=OA•OB得c²=x₁•x₂
∴c²=-2c，
又∵c＜0，
∴c=-2．

（2）S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

|x₂-x₁|•|-c|
=|x₂-x₁|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4b2-16

当S_△ABC=3时，

4b2-16

=3，得b2=

25

4

，
又∵该二次函数的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∴b=

5

2

，
∴该二次函数的解析式为y=-

1

2

x2+

5

2

x-2

（3）过B作BE⊥AC并延长BE到F使EF=BE，则点F和B关于直线AC对称，
连接DF，交直线AC于点P，则PB+PD=PF+PD=FD，
若直线AC上另外选一点P''，则P''B+P''D=P''F+P''D＞FD，
∴PB+PD＜P''B+P''D，
∴直线AC上的所有点中，存在P到点B和点D的距离和最小，而DB是定值，故所作的点P满足△PBD的周长最小．
作DH⊥x轴，垂足为H，作FG⊥x轴于G点，
由二次函数y=-

1

2

x2+

5

2

x-2
∴A（1，0），B（4，0），D（

5

2

，

9

8

）
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∵∠BEA=∠AOC=90°，∠BAE=∠OAC，
∴△EAB∽△OAC，
∴

AE

AB

=

OA

AC

，

BE

AB

=

OC

AC

，而AB=3
∴AE=

3 5

5

，BE=

6 5

5

，
∴BF=

12 5

5

，
同理，由Rt△FGB∽Rt△AEB得，

FG

FB

=

AE

AB

，

BG

FB

=

BE

AB

，
∴FG=

12

5

，GB=

24

5

，
∴OH=

24

5

-4=

4

5

，
∴F(-

4

5

，

12

5

)，
设过点D（

5

2

，

9

8

），F（-

4

5

，

12

5

）的直线的解析式为y=kx+n，则

5 2 k+n= 9 8 - 4 5 k+n= 12 5

，
解得

k=- 17 44 n= 23 11

，
∴y=-

17

44

x+

23

11

，
而过点A（1，0）和C（0，-2）的直线的解析式为y=2x-2，
由

y=- 17 44 x+ 23 11 y=2x-2

，
得

x= 12 7 y= 10 7

．
∴点P（

12

7

，

10

7

）为所求．

点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系．