题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点A（ $数学公式$ ，0），B（3 $数学公式$ ，2），C（0，2）．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连接DA，DF．设运动时间为t秒．
（1）求∠ABC的度数；
（2）当t为何值时，AB∥DF；
（3）设四边形AEFD的面积为S．
①求S关于t的函数关系式；②若一抛物线y=x²+mx经过动点E，当S＜2 $数学公式$ 时，求m的取值范围（写出答案即可）．

解：（1）过点B作BM⊥x轴于点M，
∵C（0，2），B（3 $\text{[math]}$ ，2），
∴BC∥OA，
∵BM=2，AM=2 $\text{[math]}$ ，
∴tan∠BAM= $\text{[math]}$ ，
∴∠ABC=∠BAM=30°．

（2）∵AB∥DF，
∴∠CFD=∠CBA=30°，
在Rt△DCF中，CD=2-t，∠CFD=30°，
∴CF= $\text{[math]}$ （2-t），

∵AB=4，
∴BE=4-2t，∠FBE=30°，
∴BF= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （2-t）+ $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
∴t= $\text{[math]}$ ．

（3）①过点EG⊥x轴于点G，
∵∠EAG=30°，AE=2t，
∴EG= $\text{[math]}$ AE=t，OG= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t
∴E（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t，t）
∴DE∥x轴
S=S_△DEF+S_△DEA= $\text{[math]}$ DE×CD+ $\text{[math]}$ DE×OD= $\text{[math]}$ DE×OC
= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ）×2= $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ．
②当S＜2 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ＜2 $\text{[math]}$
∴t＜1，
∵t＞0，
∵0＜t＜1，
∴ $\text{[math]}$ ＜m＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）过点B作BM⊥x轴于点M，在Rt△ABM中求tan∠BAM，得出∠BAM的度数，利用BC∥OA求解；
（2）当AB∥DF时，∠CFD=∠CBA=30°，在Rt△CDF，Rt△BEF中，解直角三角形求CF，BF，根据CF+BF=BC，列方程求解；
（3）①由D、E两点坐标可知DE∥x轴，根据S=S_△DEF+S_△DEA，利用三角形面积公式列函数式；
②将①中的关系式代入S＜ $\text{[math]}$ 中求t的取值范围，将E（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t，t）代入抛物线y=x²+mx中，求m、t的关系式，代入t的取值范围求m的取值范围．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是解直角三角形的知识，平行线的性质求相关点的坐标，根据面积公式列等量关系求解．