题目内容
（2007•大连）已知抛物线y=ax2+bx+c经过P（
，3），E（
，0）及原点O（0，0）．（1）求抛物线的解析式；
（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC（如图）．是否存在点Q，使得△OPC与△PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连接OQ，矩形OABC内的四个三角形△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之间存在怎样的关系，为什么？
【答案】分析：（1）将已知的三点坐标代入抛物线解析式中进行求解即可．
（2）可根据抛物线的解析式设出Q点的坐标，要使△OPC与△PQB相似，可分两种情况：
①△OCP∽△PBQ，此时∠COP=∠BPQ，
，用Q点的坐标表示出BP、BQ的长，根据线段的比例关系式即可求出Q点的坐标．
②△OCP∽△QPB，此时∠CPO=∠BPQ，
，方法同①
（3）根据（2）得出的Q点的坐标进行判断即可，注意运用正方形的性质和一些特殊角．
解答：解：（1）由已知可得：
解之得，a=-
，b=
，c=0．
因而得，抛物线的解析式为：y=-
x2+
x．
（2）存在．
设Q点的坐标为（m，n），则
，
要使△OCP∽△PBQ，
则有
，即
，
解之得，m1=2
，m2=
．
当m1=2
时，n=2，
所以得Q（2
，2）
要使△OCP∽△QPB，则有
，即
解之得，m1=3
，m2=
，
当m=
时，即为P点，
当m1=3
时，n=-3，
所以得Q（3
，-3）．
故存在两个Q点使得△OCP与△PBQ相似．Q点的坐标为（2
，2），（3
，-3）．
（3）在Rt△OCP中，
因为tan∠COP=
．
所以∠COP=30度．
当Q点的坐标为（2
，2）时，∠BPQ=∠COP=30度．
所以∠OPQ=∠OCP=∠B=∠QAO=90度．
因此，△OPC，△PQB，△OPQ，△OAQ都是直角三角形．
又在Rt△OAQ中，
因为tan∠QOA=
．
所以∠QOA=30度．
即有∠POQ=∠QOA=∠QPB=∠COP=30度．
所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA，
又因为QP⊥OP，QA⊥OA，∠POQ=∠AOQ=30°，
所以△OQA≌△OQP．
点评：本题是一道涉及函数、相似、三角等知识的综合题，解决第3题的关键在于通过观察得出对结果的合理猜想在进行证明，难度应该不会很大．
（2）可根据抛物线的解析式设出Q点的坐标，要使△OPC与△PQB相似，可分两种情况：
①△OCP∽△PBQ，此时∠COP=∠BPQ，
，用Q点的坐标表示出BP、BQ的长，根据线段的比例关系式即可求出Q点的坐标．②△OCP∽△QPB，此时∠CPO=∠BPQ，
，方法同①（3）根据（2）得出的Q点的坐标进行判断即可，注意运用正方形的性质和一些特殊角．
解答：解：（1）由已知可得：
解之得，a=-
，b=，c=0．因而得，抛物线的解析式为：y=-
x2+x．（2）存在．
设Q点的坐标为（m，n），则
，要使△OCP∽△PBQ，
则有
，即，解之得，m1=2
，m2=．当m1=2
时，n=2，所以得Q（2
，2）要使△OCP∽△QPB，则有
，即解之得，m1=3
，m2=，当m=
时，即为P点，当m1=3
时，n=-3，所以得Q（3
，-3）．故存在两个Q点使得△OCP与△PBQ相似．Q点的坐标为（2
，2），（3，-3）．（3）在Rt△OCP中，
因为tan∠COP=
．所以∠COP=30度．
当Q点的坐标为（2
，2）时，∠BPQ=∠COP=30度．所以∠OPQ=∠OCP=∠B=∠QAO=90度．
因此，△OPC，△PQB，△OPQ，△OAQ都是直角三角形．
又在Rt△OAQ中，
因为tan∠QOA=
．所以∠QOA=30度．
即有∠POQ=∠QOA=∠QPB=∠COP=30度．
所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA，
又因为QP⊥OP，QA⊥OA，∠POQ=∠AOQ=30°，
所以△OQA≌△OQP．
点评：本题是一道涉及函数、相似、三角等知识的综合题，解决第3题的关键在于通过观察得出对结果的合理猜想在进行证明，难度应该不会很大．
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