Question

梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S₁、S₂、S₃，且S₁+S₃=9S₂，则CD=（ ）

A．2.5AB
B．3AB
C．3.5AB
D．4AB

Answer 1

【答案】分析：根据等腰直角三角形的面积公式，和勾股定理进行转换得出S₁=，S₂，=，S₃=，结合已知条件推出AD²+BC²=9AB²，因为AD²+BC²=（DC-AB）²，所以代入化简得：CD=4AB，CD=-2AB（不符合题意，舍去），即可答案选D．
解答：解：如图，作AO∥BC交DC于O点，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，
∴AB=OC，AO=BC，∠DAO=90°，
∵以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，
∴S₁=AM×MD=AM²，
根据勾股定理得：AM²+MD²=AD²，
∵AM=MD，
∴2AM²=AD²，
∴S₁=，
同理：∵S₂=AN²•，2AN²=AB²，∴S₂=，
同理：∵S₃=BP²•，2BP²=BC²，∴S₃=，
∵S₁+S₃=9S₂
∴，
∴（DC-AB）²=9AB²
∴（DO-3AB）（DO+3AB）=0，
∴DO=3AB，DO=-2AB（不合题意，舍去），
∴CD=DO+OC=3AB+AB=4AB．
故选D．
点评：本题主要考查勾股定理、三角形面积公式、梯形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，本题的关键在于等量之间的转换．