Question

【题目】如图，△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，将△ABC绕着点C顺时针旋转α°（0≤α≤90°），得到△EFC，EF与AB、AC相交于点D、H，FC与AB相交于点G、AC相交于点D、H，FC与AB相较于点G．

（1）求证：△GBC≌△HEC；

（2）在旋转过程中，四边形BCED可以是某种特殊的平行四边形？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）当α=45°时，四边形BCED为菱形，理由详见解析.

【解析】

（1）先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠A=∠B=45°，再根据旋转的性质得∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB，于是可根据“ASA”判断△GBC≌△HEC；
（2）当α=45°时，如图，根据旋转的性质得∠BCF=∠ACE=45°，则可计算出∠BCE=∠BCA+∠ACE=135°，所以∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°，所以BD∥CE，BC∥DE，于是可判断四边形BCED为平行四边形，加上CB=CE，则可判断四边形BCED为菱形．

（1）证明：∵BC=AC，∠ACB=90°，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=45°，

∵△ABC绕着点C顺时针旋转α°（0≤α≤90°），得到△EFC，

∴∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB，

在△GBC和△HEC中

，

∴△GBC≌△HEC；

（2）解：当α=45°时，四边形BCED为菱形．理由如下：

如图，∵∠BCF=∠ACE=45°，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°+45°=135°，

而∠E=∠B=45°，

∴∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°，

∴BD∥CE，BC∥DE，

∴四边形BCED为平行四边形，

∵CB=CE，

∴四边形BCED为菱形．