Question

如图，已知∠ABC=90°，射线BD上有一点P（点P与点B不重合），且点P到BA，BC的距离分别为PE、PF，PH⊥BD交BC于H，设∠ABD=α，PB=m．
（1）当α为何值时，PE=PF；
（2）用含m和α的代数式表示PH；
（3）当α为何值时，PE=PH，并说明理由．（精确到度）

Answer 1

分析：（1）可设PE=PF，然后以此为基础推导出α的度数；
（2）根据题意不难得出∠PBE=∠PHB=α，在直角三角形PBH中PB=m，PH的值就容易表示出来了；
（3）在直角三角形BFP和BEP中，BP是公共边，可用BP表示出PE和PH，根据PE=PF，这样就能求出α的值了．

解答：解：（1）当∠ABD=∠DBC时，PE⊥AB，PF⊥BC，有PE=PF，
∴∠α=

1

2

∠ABC=

1

2

×90°=45°；
（2）在Rt△BPH中，∠BHP=∠ABD=∠α，
∴PH=

PB

tanα

=

m

tanα

；

（3）在Rt△BPE中，PE=BP•sinα，
若PE=PH，则有BP•sinα=BP•cotα，
又cotα=

cosα

sinα

，
可得sinα=

cosα

sinα

，
即cosα=sin²α，
由sin2α+cos²α=1cos²α+cosα-1=0，
cosα=

-1± 5

2

，
∵cosα＞0，cosα=

5 -1

2

≈0.618，
∠α≈52°．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，要注意第三问中两个直角三角形有公共边的时候，利用公共边求解时常用的方法．