Question

如图，P是等腰Rt△ABC内一点，AP=2，BP=

2

，将△ABP绕B点顺时针旋转90°，得△CBP′，且A、P、P′三点共线，在旋转过程中，AP扫过的面积（即图中的阴影部分面积）是

 

．（结果保留π）

Answer 1

考点：扇形面积的计算,等腰直角三角形,旋转的性质

专题：

分析：首先利用旋转的性质得出，∠PBP′=90°，以及AB，BC的长，再利用图中的阴影部分面积是：S_扇形ABC+S_△CBP′-S_扇形PBP′-S_△ABP=S_扇形ABC-S_扇形PBP′，进而得出即可．

解答：解：∵P是等腰Rt△ABC内一点，AP=2，BP=

2

，将△ABP绕B点顺时针旋转90°，得△CBP′，
∴AP⊥P′C，AP=CP′=2，∠PBP′=90°，BP=BP′，
∴PP′=2，
∴AP′=4，
∴AC=

42+22

=2

5

，
∴AB=BC=2

5

×sin45°=

10

，
在旋转过程中，AP扫过的面积（即图中的阴影部分面积）是：
S_扇形ABC+S_△CBP′-S_扇形PBP′-S_△ABP=S_扇形ABC-S_扇形PBP′=

90π×( 10 )2

360

-

90π×( 2 )2

360

=2π．
故答案为：2π．

点评：此题主要考查了扇形面积求法以及旋转的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出AB的长是解题关键．