Question

如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC及CB的延长线于D、E，点M在CE的延长线上，且∠CAM=180°-

1

2

∠ABC
（1）求证：直线AM是⊙O的切线；
（2）若cos∠C=

2 5

5

，AB=5，求AM的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）由AB=BC，利用等边对等角得到∠BAC=∠C=

1

2

（180°-∠ABC），再由∠CAM=∠BAM+∠BAC，代入计算得到∠BAM为直角，即AM垂直于AB，即可得证；
（2）连接BD，EA，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ADB与AEC为直角，由AB=BC，利用三线合一得到D为AC中点，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，确定出AC的长，在直角三角形ACE中，利用锐角三角函数定义求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长，由Rt△ABE∽Rt△MBA得比例求出BM的长，由BM-BE求出ME的长，在直角三角形AME中，利用勾股定理即可求出AM的长．

解答：解：（1）∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C=

1

2

（180°-∠ABC），
∴∠CAM=∠BAM+∠BAC=∠BAM+

1

2

（180°-∠ABC）=180°-

1

2

∠ABC，
∴∠BAM=90°，即AM⊥AB，
则直线AM为圆O的切线；

（2）连接BD，AE，可得∠AEC=∠ADB=90°，
∵AB=BC，
∴D为AC中点，即AD=CD=

1

2

AC，∠BAC=∠C，
∴cosC=cos∠BAC=

2 5

5

，
在Rt△ABD中，AD=ABcos∠BAC=2

5

，
∴AC=2AD=4

5

，
在Rt△ACE中，CE=ACcosC=8，
∴根据勾股定理得：AE=

AC2-CE2

=4，EB=EC-BC=EC-AB=8-5=3，
∵Rt△ABE∽Rt△MBA，
∴AB²=BE•BM，即25=3BM，
∴BM=

25

3

，ME=BM-EB=

16

3

，
在Rt△AEM中，根据勾股定理得：AM=

ME2+AE2

=

( 16 3 )2+42

=

20

3

．

点评：此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．