Question

【题目】已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF＝120°，DE交线段AB于E，DF交直线BC于F．

（1）如图（1），求证：DE＝DF；

（2）如图（2），若BE＝3AE，求证：CF＝BC．

（3）如图（3），若BE＝AE，则CF＝　 　BC；在图（1）中，若BE＝4AE，则CF＝　 　BC．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），．

【解析】

（1）如图1中，连接BD，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，证明△DME≌△DNF即可得到结论；
（2）如图2中，作DK∥BC交AB于K．设AE=a，则BE=3a，AB=AC=BC=4a，证明∠DFB=90°，求出CF即可解决问题；
（3）①如图3中，作DK∥BC交AB于K．只要证明△EDK≌△FDC，即可解决问题；

②如图4中，由（1）可知EM=FN，设AE=a，则BE=4a，AB=BC=AC=5a，AM=CN=，EM=FN=a，可得CF=FN+CN=a，由此即可 解决问题；

证明：（1）如图1中，连接BD，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，

∵∠DMB＝∠DNB＝90°，∠ABC＝60°，

∴∠MDN＝∠EDF＝120°，

∴∠MDE＝∠NDF，

∵△ABC是等边三角形，AD＝DC，

∴∠DBA＝∠DBC，

∴DM＝DN，

∴△DME≌△DNF，

∴DE＝DF．

（2）如图2中，作DK∥BC交AB于K．设AE＝a，则BE＝3a，AB＝AC＝BC＝4a，

∵AD＝DC，DK∥CB，

∴AK＝BK＝2a，DK＝BC＝2a＝AD＝AK，

∴AE＝EK＝a，

∴DE⊥AK，

∴∠BED＝90°，

∵∠BED+∠BFD＝180°，

∴∠DFB＝90°，

在Rt△CDF中，∵∠C＝60°，

∴CF＝CD＝a，

∴CF＝BC．

（3）①如图3中，作DK∥BC交AB于K．

设BE＝a，则AE＝3a，AK＝BK＝2a，△ADK是等边三角形，

∴∠ADK＝60°，∠EDF＝∠KDC，

∴∠KDE＝∠CDE，

∵DK＝DC，DE＝DF，

∴△EDK≌△FDC，

∴EK＝CF＝a，

∵BC＝4a，

∴CF＝BC．

②如图4中，由（1）可知EM＝FN，

设AE＝a，则BE＝4a，AB＝BC＝AC＝5a，AM＝CN＝，EM＝FN＝a，

∴CF＝FN+CN＝a，

∴CF：BC＝a：5a＝3：10，

∴CF＝BC．

故答案为，．