Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE上，并且AF=CE。

(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；

(2)当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形?请回答并证明你的结论。

(3)四边形ACEF有可能是正方形吗?为什么?

Answer 1

(1)证明：∵CE=AE=EB

∴CE=AE=AF                                                 

又∵DF//AC

∴∠F=∠FEA=∠EAC=∠ECA

即∠F=∠ACE

又∵∠ACE+∠CEF=180°

∴∠F+∠CEF=180°

∴AF//CF                                                              

∴四边形ACEF是平行四边形                                

(2)∠B=30°时，四边形ACEF是菱形，因为∠B=30°，所以∠EAC=60°。又因为EA=EC，    所以△ABC是等边三角形，所以EC=EA，故□ACEF是菱形。   

(3)四边形ACEF不可能是正方形，假设四边形ACEF是正方形，则∠ACE=90°,则CE与CB重合，这与已知△ABC点E在AB上矛盾，所以不存在这样的正方形。