题目内容
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N，求证：AB•BM=AM•BN．
分析：根据在△ABC中，∠ACB=90°，M是BC的中点，CN⊥AM，得出△MNC∽△MCA，再证明△MBN∽△MAB，利用对应边成比例即可解题．
解答：证明：在Rt△ACM中，CN⊥AM，
∴∠CMN=∠AMC，∠MNC=∠MCA=90°
∴△MNC∽△MCA，
∴
=
，
∴MC2=MN•MA，
∵M是BC的中点
∴BM=CM，
∴BM2=MN•MA，
=
，
又∵∠BMN=∠AMB，
∴△MBN∽△MAB，
∴
=
，
∴AB•BM=AM•BN．
∴∠CMN=∠AMC，∠MNC=∠MCA=90°
∴△MNC∽△MCA，
∴
| MN |
| MC |
| CM |
| MA |
∴MC2=MN•MA，
∵M是BC的中点
∴BM=CM，
∴BM2=MN•MA，
| MN |
| BM |
| BM |
| MA |
又∵∠BMN=∠AMB，
∴△MBN∽△MAB，
∴
| BM |
| AM |
| BN |
| AB |
∴AB•BM=AM•BN．
点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质的理解与掌握，难度不大，是一道基础题．
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