Question

已知两同心圆的圆心为O，过小圆上一点M作小圆的弦MA和大圆的弦BMC，且MA⊥BC，求证：AB²+BC²+CA²为定值．

Answer 1

分析：如图，首先根据题意画出图形，过O点作BC垂线，设垂足为D；作MA垂线，设垂足为E，设MB=a，MC=b，MA=c，由Rt△ODC和Rt△OME，推出方程组：

[ 1 2 (a+b)]2+( c 2 )2=R2①  [ 1 2 (b-a)]2+( c 2 )2=r2②

，然后，把a²+b²+c²和2ab分别看做两个整体，通过解方程组求出a²+b²+c²和2ab的值，最后通过等量代换即可推出AB²+AC²+BC²=6R²+2r²，为定值．

解答：证明：过O点作BC垂线，设垂足为D；作MA垂线，设垂足为E，
设MB=a，MC=b，MA=c，大圆的半径为R，小圆的半径为r，
∵MA⊥BC，
∴AB²+AC²+BC²=（a²+c²）+（a²+b²）+（a+b）²=2（a²+b²+c²）+2ab，
∵OD⊥BC，OE⊥MA，
∴CD=

1

2

（a+b），ME=

c

2

，
∴在Rt△ODC中，[

1

2

（a+b）]²+（

c

2

）²=R²，
在Rt△OME中，[

1

2

（b-a）]²+（

c

2

）²=r²，
∴求得方程组：

[ 1 2 (a+b)]2+( c 2 )2=R2①  [ 1 2 (b-a)]2+( c 2 )2=r2②

解方程组的得：

a2+b2+c2=2R2+ 2r2 2ab=2R2-2r2

，
∴AB²+AC²+BC²=2（a²+b²+c²）+2ab=2（2R²+2r²）+2R²-2r²=6R²+2r²，
∴AB²+BC²+CA²为定值．

点评：本题主要考查勾股定理、垂径定理，关键在于熟练运用相关的性质定理，推出AB²+AC²+BC²=2（a²+b²+c²）+2ab，推出关于a²+b²+c²和2ab的方程组，解方程即可，正确地进行等量代换．