Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC.现有两动点P，Q分别从0，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x辅于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．

1.求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；

2.当O<t<时’△PQF的面积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由

3.当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．

 

Answer 1

 

1.

令y=0,得：x²-8x-180=0

即：（x-18）(x+10)=0

所以：x₁=18；x₂=-10

所以：A（18，0）                                     （1分）

在中，令x=10得y=10

即：B（0，-10）                                      （2分）

由于BC//OA

故得：

X=8或x=0,

即：C（8，10）                                       （3分）

顶点坐标为（4，）

于是，A（18，0），B(0,-10), C(8,-10),顶点坐标为（4，）

2.设点P运动t秒，则OP=4t.CQ=t,0<t<4.5              (5分

说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合。

由于QC//OP知 ∆QDC~∆PDO,  故

所以：AF=4t=OP

所以：PF=PA+AF=PA+OP=18                         (6分)

又点Q到直线PF的距离d=10

所以S_∆PQF=1/2 PF×d=1/2 ×18×10=90

于是∆PQF的面积总为90；                                （8分）

3.由上知P(4t,0) ,F(18+4t,0);

Q(8-t,-10),0<t<4.5

构造直角三角形后易得.

               (9分)

①若FP=PQ,即

得：

因为：0<t<4.5

所以：

(不合题意，舍去)                         （10分）

②若PQ=QF,即，无0<t<4.5的t 的满足条件。（11分）

③若PF=QF,即。得

5t+10=

又0<t<4.5,

所以

综上所述，当时，∆PQR是等腰三角形。           （12分）

解析:（1）已知抛物线的解析式，当x=0时，可求得B的坐标；由于BC∥OA，把B的纵坐标代入抛物线的解析式，可求出C的坐标；当y=0时，可求出A的坐标．求顶点坐标时用公式法或配方法都可以；

（2）当0＜t＜时，根据OA=18，P点的速度为4单位/秒，可得出P点总在OA上运动．△PQF中，Q到PF的距离是定值即OB的长，因此只需看PF的值是否有变化即可得出S_△PQF是否为定值，已知QC∥PF，根据平行线分线段成比例定理可得出：，因此可得出OP=AF，那么PF=PA+AF=PA+OP=OA，由于OA的长为定值即PF的长为定值，因此△PQF的面积是不会变化的．其面积的值可用OA•OB求出；

（4）可先用t表示出P，F，Q的坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式得出PF²，PQ²，FQ²，进而可分三种情况进行讨论：

①△PFQ以PF为斜边．则PF²=PQ²+FQ²，可求出t的值．

②△PFQ以PQ为斜边，方法同①

③△PFQ以FQ为斜边，方法同①．

综合三种情况即可得出符合条件的t的值