题目内容
如图，已知一次函数y=-
x+3的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C在AB上以
每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间用t（单位：秒）表示．
（1）求AB的长；
（2）当t为何值时，△ACD与△ABO相似？并直接写出此时点C的坐标．
| 3 |
| 4 |
每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间用t（单位：秒）表示．（1）求AB的长；
（2）当t为何值时，△ACD与△ABO相似？并直接写出此时点C的坐标．
（1）当x=0时，y=3；当y=0时，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=
=5；
（2）依题意BC=t，AC=5-t，AD=t，
若△ACD∽△ABO相似，
∴
=
，
代入得：
=
，
解得：t=
，
∴点C的横坐标也就是AO-AD=AO-t=4-
=
，
再把x=
带入一次函数解析式，得y=
．
∴此时C（
，
）
若△ACD∽△AOB相似，
=
，
=
，
∴t=
，
AC=5-t=
，
再过C点做CE⊥OA于E，
然后△ACE∽ABO，
=
，
即
=
，
解得AE=
，
∴OE=AO-AE=4-
=
，
而且又∵
=
，即
=
．
解得CE=
．所以C（
，
）
∴C（
，
）或（
，
）
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=
| 32+42 |
（2）依题意BC=t，AC=5-t，AD=t，
若△ACD∽△ABO相似，
∴
| AC |
| AB |
| AD |
| AO |
代入得：
| 5-t |
| 5 |
| t |
| 4 |
解得：t=
| 20 |
| 9 |
∴点C的横坐标也就是AO-AD=AO-t=4-
| 20 |
| 9 |
| 16 |
| 9 |
再把x=
| 16 |
| 9 |
| 5 |
| 3 |
∴此时C（
| 16 |
| 9 |
| 5 |
| 3 |
若△ACD∽△AOB相似，
| AD |
| AB |
| AC |
| AO |
| t |
| 5 |
| 5-t |
| 4 |
∴t=
| 25 |
| 9 |
AC=5-t=
| 20 |
| 9 |
再过C点做CE⊥OA于E，
然后△ACE∽ABO，
| AE |
| AO |
| AC |
| AB |
即
| AE |
| 4 |
| ||
| 5 |
解得AE=
| 16 |
| 9 |
∴OE=AO-AE=4-
| 16 |
| 9 |
| 20 |
| 9 |
而且又∵
| CE |
| OB |
| AE |
| AO |
| CE |
| 3 |
| ||
| 4 |
解得CE=
| 4 |
| 3 |
| 20 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
∴C（
| 16 |
| 9 |
| 5 |
| 3 |
| 20 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
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，以每秒1个单位的速度，沿折线OAB的路线运动，运动时间为t秒．
