Question

如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

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．对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F．在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数．

Answer 1

分析：首先由四边形ABCD为平行四边形，利用ASA证得△AOF≌△COE，然后可得OE=OF，又由OB=OD，可证得四边形BEDF是平行四边形，所以得当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，又由AB⊥AC，AB=1，BC=

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，易求得OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°．

解答：解：四边形BEDF可以是菱形．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，AD∥BC，OB=OD，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，

∠FAO=∠ECO OA=OC ∠AOF=∠COE

，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，
在Rt△ABC中，AC=

BC2-AB2

=2，
∴OA=1=AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形，
即此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°．

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握旋转前后图形的对应关系．