Question

如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与y轴交于C点，与x轴交于D点，其中点A（-2，4）、点B（4，-2）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求证：△AOC≌△BOD．

Answer 1

（1）解：把点A（-2，4）、点B（4，-2）代入一次函数y=ax+b中：
，
解得：，
∴一次函数解析式为：y=-x+2，
把A（-2，4）代入y=中，
k=-8，
∴反比例函数解析式为：y=-；

（2）证明：过A作AE⊥x，过B作BF⊥x，
∵A（-2，4）、B（4，-2），
∴OA²=AE²+EO²=4²+2²=20，
OB²=BF²+FO²=2²+4²=20，
∴OA=OB，
∴∠OAC=∠OBD，
∵y=-x+2，与x，y交于D，C点，
∴C（0，2），D（2，0），
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ACO=∠BDO，
∴△AOC≌△BOD（AAS）．
分析：（1）利用待定系数法把点A（-2，4）、点B（4，-2）代入一次函数y=ax+b，和反比例函数y=中，即可得到答案；
（2）首先计算出OA=OB，可得∠OAC=∠OBD，再计算出OC=OD，可得∠OCD=∠ODC，利用等角的补角相等可得∠ACO=∠BDO，便可利用AAS定理证明△AOC≌△BOD．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，以及证明三角形全等的判定，证明全等是此题的一个难点，关键是与解析式结合起来求出线段相等，从而得到角相等．