Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于点E，AE=BE，BF⊥AE于点F．
求证：（1）AD=EF；
（2）S_△ABE=S_梯形AECD．

Answer 1

分析：（1）要证明AD=EF，可证明△ADE≌△EFB，根据全等三角形的对应边相等，得AD=EF，也可推得BF=DE，为下一步服务；
（2）再证明△ABF≌△DEC，△ABE的面积=△ABF的面积+△BEF的面积，梯形AECD的面积=△DCE的面积+△ADE的面积，根据全等三角形面积一定相等，得出结论．

解答：证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠1=∠2．（1分）
∵DE⊥BC，
∴DE⊥AD．
∴∠3=90°．
∵BF⊥AF，
∴∠4=90°，
∴∠3=∠4．（2分）
∵AE=BE，（3分）
∴△ADE≌△EFB．
∴AD=EF．（5分）

（2）∵△ADE≌△EFB，
∴BF=DE．
在Rt△ABF和Rt△DEC中

AB=DC BF=DE

，
∴Rt△ABF≌Rt△DEC．（8分）
∴△ADE≌△BFE．
∴S_△ABF+S_△BEF=S_△DEC+S_ADE，
∴S_△ABE=S_梯形AECD．（10分）

点评：考查了证明三角形的全等问题，以及转化思想．