Question

【题目】如图，是正方形的边上的动点，是边延长线上的一点，且，，设，.

（1）当是等边三角形时，求的长；

（2）求与的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）把沿着直线翻折，点落在点处，试探索：能否为等腰三角形？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.

【解析】

（1）当△BEF是等边三角形时，有∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，则可解Rt△ABE，求得BF即BE的长．

（2）作EG⊥BF，垂足为点G，则四边形AEGB是矩形，在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF2=（BF-BG）2+EG2．即y2=（y-x）2+122．故可求得y与x的关系．

（3）当把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A'处，应有∠BA'F=∠BA'E=∠A=90°，若△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B=A'F=AB=12，有FA′=EF-A′E=y-x=12，故可由（2）得到的y与x的关系式建立方程组求得AE的值．

解：（1）当是等边三角形时，，

∵，

∴，

∴；

（2）作，垂足为点，

根据题意，得，，.

∴.

∴所求的函数解析式为；

（3）∵，

∴点落在上，

∴，，

∴要使成为等腰三角形，必须使.

而，，

∴，由（2）关系式可得：，

整理得，

解得，

经检验：都原方程的根，

但不符合题意，舍去，

所以当时，为等要三角形.