Question

已知a、b、c是△ABC的三边的长，且方程x²+2（b-c）x+（a-b）（c-a）=0有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．

Answer 1

解：由已知条件△=4（b-c）²-4（c-a）（a-b）=0，
即[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]=0，
∴b-a=0且c-a=0，b-c=0，解得a=b=c；
∵a，b，c 是△ABC的三条边长，
∴△ABC是等边三角形；
分析：先根据有两个相等的实数根，系数之间的关系必须满足△=b²-4ac=0，列出方程后进行因式分解，找到a、b、c的关系，从而判断三角形的形状．
点评：主要考查了根的判别式和根据边与边之间的关系来判断三角形的形状．
在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
①二次项系数不为零；
②在有两个相等的实数根的情况下必须满足△=b²-4ac=0．