Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=6，延长AB到点C，使BC=AB，D是⊙O上一点，DC=6

2

．求证：
（1）△CDB∽△CAD；
（2）CD是⊙O的切线．

Answer 1

证明：（1）∵AB=6，BC=AB，DC=6

2

，
∴AC=12，BC=6．
∴

DC

AC

=

BC

DC

=

2

2

．
∵∠C=∠C，
∴△CDB∽△CAD．

（2）（证法一）：连接OD，则有OD=3，


∵OC=9，DC=6

2

，
∵DC²+OD²=（6

2

）²+3²=81=9²
∴DC²+OD²=OC²
∴∠ODC=90°，
∴CD⊥OD．
又∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线．
（证法二）：连接OD，则有OD=OA，
∴∠A=∠ADO．
∵△CDB∽△CAD，
∴∠CDB=∠A．
∴∠CDB=∠ADO．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
即∠ADO+∠ODB=90°．
∴∠CDB+∠ODB=90°．
即∠ODC=90°．
∴CD⊥OD．
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线．