Question

2．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是AD的三等分点，G、H是BC的三等分点，AC与EB，EG，FG，FH，DH分别交于P，Q，K，M，N，设△EPQ，△FKM，△DNC的面积分别为S₁，S₂，S₃，若S₁+S₃=30，则S₂的值为12．

Answer 1

分析 设AC交DH于K．由△ABP≌△CDK，EQ∥AB，AE∥BC，'推出$\frac{AE}{BC}$=$\frac{EP}{PB}$=$\frac{1}{3}$，推出△EPQ∽△BPA，可得S₁：S₃=1：9，由S₁+S₃=30，推出S₁=3，由△EPQ∽△FMN，FM=2FP，可得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{PE}{FM}$）²=$\frac{1}{4}$，由此即可解决问题．

解答 解：设AC交DH于K．

∵E、F是AD的三等分点，G、H是BC的三等分点，四边形ABCD是平行四边形，
∴易证△ABP≌△CDK，
∵EQ∥AB，AE∥BC，'
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{EP}{PB}$=$\frac{1}{3}$，
∴△EPQ∽△BPA，
∴S₁：S₃=1：9，
∵S₁+S₃=30
∴S₁=3，
易证△EPQ∽△FMN，FM=2FP，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{PE}{FM}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴S₂=12．
故答案为12．

点评 本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．