Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．

(1)求证：BD＝BF；

(2)若BC＝12，AD＝8，求BF的长．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)连结OE， 　　∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED 　　∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AE，∴∠OEA＝90° 　　∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝∠ACB，∴OE∥BC，∴∠F＝∠OED 　　∴∠ODE＝∠F 　　∴BD＝BF 　　(2)过D作DG⊥AC于G，连结BE， 　　∴∠DGC＝∠ECF，DG∥BC 　　∵BD为直径，∴∠BED＝90° 　　∵BD＝BF，∴DE＝EF 　　在△DEG和△FEC中 　　∵∠DGC＝∠ECF，∠DEG＝∠FEC，DE＝EF 　　∴△DEG≌△FEC 　　∴DG＝CF 　　∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC 　　∴ 　　∴ 　　∴ 　　∴或(舍去) 　　∴BF＝BC＋CF＝12＋4＝16