题目内容

如图，⊙M的圆心在x轴上，与坐标轴交于A（0， $数学公式$ ）、B（-1，0），抛物线 $数学公式$ 经过A、B两点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设抛物线的顶点为P．试判断点P与⊙M的位置关系，并说明理由；
（3）若⊙M与y轴的另一交点为D，则由线段PA、线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面积是多少？

解：（1）将A（0， $\text{[math]}$ ）、B（-1，0）两点坐标代入抛物线y=- $\text{[math]}$ x²+bx+c中，得
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；

（2）连接MA，设⊙M的半径为R，根据A、B两点坐标可知，OA= $\text{[math]}$ ，OM=R-1
在Rt△OMA中，由勾股定理得，OA²+OM²=AM²，
即 $\text{[math]}$ ²+（R-1）²=R²，
解得R=2，
∵y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x-1）²+ $\text{[math]}$ ，
∴PM= $\text{[math]}$ ＞2，即P点在⊙M外；

（3）∵PM∥y轴，
∴S_△APD=S_△AMD，
由线段PA、线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面积即为扇形AMD的面积，
∵OM=1，AM=2，
∴∠AMO=60°，∠AMD=120°
∴S_扇形AMD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）将A（0， $\text{[math]}$ ）、B（-1，0）两点坐标代入抛物线y=- $\text{[math]}$ x²+bx+c中，解方程组可求b、c，确定抛物线解析式；
（2）连接MA，根据A、B两点坐标，由勾股定理求圆的半径，利用配方法求P点的纵坐标并与半径比较，判断点P与⊙M的位置关系；
（3）由于PM∥y轴，故S_△APD=S_△AMD，问题可转化为求扇形AMD的面积．
点评：本题考查了抛物线解析式的求法，抛物线的性质与圆的综合运用，求图形面积的问题，需要学会将图形面积问题进行转化．