题目内容
如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E
，连接BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连接DF．（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE=
| 3 | 5 |
分析：（1）连接OE，证OE⊥AB即可．通过证明△BOC≌△BOE得证；
（2）根据垂径定理，EF=2EG，所以求出EG的长即得解．连接CE，则∠CED=90°，∠ECD=∠F．CD=10．根据三角函数可求EG得解．
（2）根据垂径定理，EF=2EG，所以求出EG的长即得解．连接CE，则∠CED=90°，∠ECD=∠F．CD=10．根据三角函数可求EG得解．
解答：
（1）证明：连接OE．
∵ED∥OB，
∴∠1=∠2，∠3=∠OED．
又OE=OD，
∴∠2=∠OED，
∴∠1=∠3．
又OB=OB，OE=OC，
∴△BCO≌△BEO．（SAS）
∴∠BEO=∠BCO=90°，即OE⊥AB．
∴AB是⊙O切线．
（2）解：连接CE，
∵∠F=∠4，CD=2•OC=10；
由于CD为⊙O的直径，∴在Rt△CDE中有：
ED=CD•sin∠4=CD•sin∠DFE=10×
=6．
∴CE=
=
=8．
在Rt△CEG中，
=sin∠4=
，
∴EG=
×8=
．
根据垂径定理得：EF=2EG=
．
（1）证明：连接OE．∵ED∥OB，
∴∠1=∠2，∠3=∠OED．
又OE=OD，
∴∠2=∠OED，
∴∠1=∠3．
又OB=OB，OE=OC，
∴△BCO≌△BEO．（SAS）
∴∠BEO=∠BCO=90°，即OE⊥AB．
∴AB是⊙O切线．
（2）解：连接CE，
∵∠F=∠4，CD=2•OC=10；
由于CD为⊙O的直径，∴在Rt△CDE中有：
ED=CD•sin∠4=CD•sin∠DFE=10×
| 3 |
| 5 |
∴CE=
| CD2-ED2 |
| 102-62 |
在Rt△CEG中，
| EG |
| CE |
| 3 |
| 5 |
∴EG=
| 3 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
根据垂径定理得：EF=2EG=
| 48 |
| 5 |
点评：此题考查了切线的判定、垂径定理及解直角三角形等知识点，综合性很强，难度较大．
练习册系列答案
举一反三期末百分冲刺卷系列答案
相关题目
如图，⊙O1的圆心在⊙O的圆周上，⊙O和⊙O1交于A，B，AC切⊙O于A，连接CB，BD是⊙O的直径，∠D=40°，求：∠AO1B，∠ACB和∠CAD的度数．
如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（ ）
（2012•郧县三模）如图，⊙O的圆心在坐标原点，⊙O与x轴正半轴交于点B，延长OB至点A使AB=OB，过点A作⊙O的切线AC，切点为C，P为⊙O上一点（不在弧BC上），则cos∠BPC的值为（ ）
（2012•中江县二模）如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连接BO、ED，且BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连接DF．