Question

如图，直线y=-x+2与坐标轴交于A，B两点，∠OAB的平分线交OB于点C₁，过点C₁作C₁D₁⊥AC₁交AB于点D₁，过点D₁作D₁E₁⊥OB，D₁C₂⊥C₁D₁，交点分别为点E₁、C₂，过点C₂作C₂D₂⊥D₁C₂交AB于点D₂，过点D₂作D₂E₂⊥OB，D₂C₃⊥C₂D₂，交点分别为点E₂、C₃，…依次操作．记△C₁D₁C₂的面积为S₁，△C₂D₂C₃的面积为S₂，…则S₅=    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根据直线的解析式求得点A、点B的坐标，根据勾股定理可以求得AB的长；
再根据角平分线定理可以求得OC₁的长，根据勾股定理求得AC₁的长，再根据角平分线的性质和相似三角形的性质，可以求得△C₁D₁C₂的面积，以此类推，即可求解．
解答：解：令x=0，则y=2，即A（0，2）；
令y=0，则x=，即B（，0）．
根据勾股定理，得AB=．
∵∠OAB的平分线交OB于点C₁，C₁D₁⊥AC₁，D₁E₁⊥OB，
∴∠C₁D₁E₁=∠AD₁C₁．
根据角平分线的性质，即可得到OC₁=C₁E₁．
设OC₁=C₁E₁=x．
根据角平分线定理，得
，
即，
解，得x=1．
则根据勾股定理，得AC₁=．
根据△E₁D₁C₁∽△OAC₁，得
D₁C₁=．
则C₂E₁=．
根据△C₂D₁C₁∽△OAC₁，得
==，
则S₁=．
根据相似三角形的性质，进一步求得=．
S₂=．
以此类推，则S₅=．
点评：此本题综合考查了一次函数与几何知识的应用．
题中运用直角三角形的知识求出线段的长是解题的关键，要以△C₁D₁C₂的面积为突破口，求与之相关的点的坐标，再利用三角形相似，本题属中等难度．