Question

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．

（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物

线于点E，求△ACE面积的最大值；

（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，

点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长

最小，若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由.

（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点

的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果

不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，解得x₁=-1或x₂=3，

∴A(-1，0)，B(3，0)；

将C点的横坐标x=2代入y=x²-2x-3得y=-3，

∴C（2，-3） ∴直线AC的函数解析式是y=-x-1                

（2）设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)

则P、E的坐标分别为：P(x，-x-1)，E(x，x²-2x-3)

∵P点在E点的上方，PE=(-x-1)-(x²-2x-3) =-x²+x+2，

∴当x=时，PE的最大值=

△ACE的面积最大值=

（3）D点关于PE的对称点为点C(2，-3)，点Q(0，-1)点关

于x轴的对称点为M(0，1)，连接CQ交直线PE与MD点，

交x轴于N点，可求直线CQ的解析式为，

M(1，-1)， N(，0) 

（4）存在F₁(-3，0)，F₂(1，0)，F₃，F₄．