Question

已知抛物线经过及原点．
【小题1】求抛物线的解析式．
【小题2】过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形（如图）．是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由
【小题3】如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形之间存在怎样的关系？为什么？

Answer 1

【小题1】由已知可求得：抛物线的解析式为：
【小题2】存在．设点的坐标为，则，要使，则有，即，解之得，．
当时，，即为点，所以得
要使，则有，即
解之得，，当时，即为点，
当时，，所以得．故存在两个点使得与相似．点的坐标为．（10分）
【小题3】在中，因为．所以．
当点的坐标为时，．
所以．
因此，都是直角三角形．
又在中，因为．所以．
即有．
所以，又因为
，所以．（14分）

解析