题目内容
如图，在△ABC中，∠C=120°，AC=BC，AB=4，半圆的圆心O在AB上，且与AC，BC分别相切于点D，E．
（1）求半圆O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
（1）求半圆O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
| （1）解：连接OD，OC， ∵半圆与AC，BC分别相切于点D，E， ∴∠DCO=∠ECO，且OD⊥AC． ∵AC=BC， ∴CO⊥AB且O是AB的中点． ∴AO=  AB=2．∵∠C=120°， ∴∠DCO=60°． ∴∠A=30°． ∴在Rt△AOD中，OD=  AO=1．即半圆O的半径为1； （2）设CO=x，则在Rt△AOC中， ∵∠A=30°， ∴AC=2x， 由勾股定理得：AC2﹣OC2=AO2， 即（2x）2﹣x2=22， 解得：x=  （x=﹣ 舍去），∴S△ABC=  AB·OC= ×4× = ．∵半圆的半径为1， ∴半圆的面积为  ，∴S阴影=  ﹣ = ． |
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