Question

如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）

（1）求B点坐标；

（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°连OD，求∠AOD的度数；

（3）过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式=1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由.

参考答案

Answer 1

1）作AE⊥OB于E，∵A（4，4），∴OE=4………………（1分），

∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥OB，∴OE=EB=4…………（2分），

∴OB=8，∴B（8，0）………………（3分）

（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，

∵△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC，∠ACD=90°

即∠ACF+∠DCF=90°，∵∠FDC+∠DCF=90°，∴∠ACF=∠FDC，

又∵∠DFC=∠AEC=90°，

∴△DFC≌△CEA（5分），∴EC=DF，FC=AE，

∵A（4，4），∴AE=OE=4，∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，

∴OF=CE，∴OF=DF，∴∠DOF=45°……………………（6分）

∵△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°…………（7分）

方法二：过C作CK⊥x轴交OA的延长线于K，则△OCK为等腰直角三角形，OC=CK，∠K=45°，又∵△ACD为等腰Rt△，∴∠ACK=90°－∠OCA=∠DCO，AC=DC，∴△ACK≌△DCO(SAS)，∴∠DOC=∠K=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°．

（3）成立……（8分），理由如下：

在AM上截取AN=OF，连EN．∵A（4，4），

∴AE=OE=4，又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，

∴△EAN≌△EOF(SAS) …………（10分）

∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，又∵△EGH为等腰直角三角形，

∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，∴∠AEN+∠OEM=45°

又∵∠AEO=90°，∴∠NEM=45°=∠FEM，又∵EM=EM，

∴△NEM≌△FEM(SAS)………………（11分），

∴MN=MF，∴AM－MF=AM－MN=AN，∴AM－MF=OF，

即········ （12分）

   方法二：在x轴的负半轴上截取ON=AM，连EN，MN，

则△EAM≌△EON(SAS)，EN=EM，∠NEO=∠MEA，

     即∠NEF＋∠FEO=∠MEA，而∠MEA＋∠MEO=90°，

     ∴∠NEF＋∠FEO＋∠MEO=90°，而∠FEO＋∠MEO=45°，

∴∠NEF=45°=∠MEF，∴△NEF≌△MEF(SAS)，∴NF=MF，

   ∴AM=OF=OF＋NF=OF＋MF，即．

注：本题第⑶问的原型：已知正方形AEOP，∠GEH=45°，

将∠GEH的顶点E与正方形的顶点E重合，∠GEH的两边分别

交PO、AP的延长线于F、M，求证：AM=MF＋OF．