Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．

（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F．

（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△A1B1C1全等除外）；

（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α；

 

Answer 1

解：

（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等；

以说明△CBD≌△CA₁F为例：

理由：∵∠ACB₁+∠A₁CF=∠ACB₁+∠BCD=90°

∴∠A₁CF=∠BCD   ∵A₁C=BC    ∴∠A₁=∠CBD=45°   ∴△CBD≌△CA₁F；（6分）

（2）在△CBB₁中    ∵CB=CB₁     ∴∠CBB₁=∠CB₁B=1/2（180°-α）

又△ABC是等腰直角三角形   ∴∠ABC=45°

①若B₁B=B₁D，则∠B₁DB=∠B₁BD

∵∠B₁DB=45°+α

∠B₁BD=∠CBB₁-45°=1/2（180°-α）-45°=45°-1/2α    

∴45°+α=45°-α

∴α=0°（舍去）；

②∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD，∴BD＞B₁D，即BD≠B₁D；

③若BB₁=BD，则∠BDB₁=∠BB₁D，即45°+α=1/2（180°-α），α=30°

由①②③可知，当△BB₁D为等腰三角形时，α=30°；（12分）