题目内容
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的
负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=
x2+bx+c经过点A、B．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC以1cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
①移动开始后，是否存在某一时刻t，使得以O、A、P为顶点的三角形与△BPQ相似，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．
②移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）若此抛物线上有一点D（3，
），在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．
负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=| 5 |
| 6 |
（1）求抛物线的表达式．
（2）如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC以1cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
①移动开始后，是否存在某一时刻t，使得以O、A、P为顶点的三角形与△BPQ相似，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．
②移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）若此抛物线上有一点D（3，
| 1 |
| 2 |
分析：（1）根据正方形的四条边都相等写出点A、B的坐标，然后代入抛物线解析式得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值即可得解；
（2）表示出AP、BP、BQ的长，①然后分（i）OA与BP是对应边，（ii）OA与BQ是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可；
②根据勾股定理表示出S，然后利用二次函数的最值问题确定出S取最小值时的t值，然后求出BP、BQ的值，再分（i）BP为对角线，（ii）BQ为对角线两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等求出点R的坐标，然后把点R的坐标代入抛物线，如果点R在抛物线上则，存在，否则不存在；
（3）根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出当点M为抛物线对称轴与直线AD的交点时，M到D、A的距离之差最大，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AD的解析式，再求两直线的交点即可．
（2）表示出AP、BP、BQ的长，①然后分（i）OA与BP是对应边，（ii）OA与BQ是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可；
②根据勾股定理表示出S，然后利用二次函数的最值问题确定出S取最小值时的t值，然后求出BP、BQ的值，再分（i）BP为对角线，（ii）BQ为对角线两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等求出点R的坐标，然后把点R的坐标代入抛物线，如果点R在抛物线上则，存在，否则不存在；
（3）根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出当点M为抛物线对称轴与直线AD的交点时，M到D、A的距离之差最大，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AD的解析式，再求两直线的交点即可．
解答：解：（1）∵正方形OABC的边长为2cm，
∴点A（0，-2），B（2，-2），
∴
，
解得
，
∴抛物线的表达式为y=
x2-
x-2；
（2）移动t秒时，AP=2t，BP=2-2t，BQ=t，
①（i）OA与BP是对应边时，∵以O、A、P为顶点的三角形与△BPQ相似，
∴
=
，
即
=
，
解得t=
，
（ii）OA与BQ是对应边时，∵以O、A、P为顶点的三角形与△BPQ相似，
∴
=
，
即
=
，
解得t=-1+
，t=-1-
（舍去），
综上所述，当t=
或-1+
时，以O、A、P为顶点的三角形与△BPQ相似；
②根据勾股定理，S=PQ2=BP2+BQ2=（2-2t）2+t2=5t2-8t+4，
所以，当t=-
=
时，S有最小值，
此时BP=2-2t=2-2×
=
，BQ=t=
，
（i）当BP为对角线时，根据平行四边形的对边平行且相等，
点R的横坐标为2t=
，
纵坐标为-（2+
）=-
，
此时，
×（
）2-
×
-2=
-
-2=-
≠-
，
点R不在抛物线上，所以，此时不成立，
（ii）BQ为对角线时，根据平行四边形的对边平行且相等，
点R的横坐标为2+
=
，
纵坐标为-（2-
）=-
，
此时，
×（
）2-
×
-2=
-4-2=-
，
点R在抛物线上，
所以，点R的坐标为（
，-
）；
（3）根据三角形三边关系，|MA-MD|＜DA，
所以，当点M为直线AD与对称轴交点时，M到D、A的距离之差最大，
此时，设直线AD的解析式为y=kx+b，
则
，
解得
，
所以，直线AD的解析式为y=
x-2，
∵抛物线y=
x2-
x-2的对称轴为x=-
=1，
∴y=
×1-2=-
，
∴点M的坐标为（1，-
）．
∴点A（0，-2），B（2，-2），
∴
|
解得
|
∴抛物线的表达式为y=
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 3 |
（2）移动t秒时，AP=2t，BP=2-2t，BQ=t，
①（i）OA与BP是对应边时，∵以O、A、P为顶点的三角形与△BPQ相似，
∴
| OA |
| BP |
| AP |
| BQ |
即
| 2 |
| 2-2t |
| 2t |
| t |
解得t=
| 1 |
| 2 |
（ii）OA与BQ是对应边时，∵以O、A、P为顶点的三角形与△BPQ相似，
∴
| OA |
| BQ |
| AP |
| BP |
即
| 2 |
| t |
| 2t |
| 2-2t |
解得t=-1+
| 3 |
| 3 |
综上所述，当t=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
②根据勾股定理，S=PQ2=BP2+BQ2=（2-2t）2+t2=5t2-8t+4，
所以，当t=-
| -8 |
| 2×5 |
| 4 |
| 5 |
此时BP=2-2t=2-2×
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
（i）当BP为对角线时，根据平行四边形的对边平行且相等，
点R的横坐标为2t=
| 8 |
| 5 |
纵坐标为-（2+
| 4 |
| 5 |
| 14 |
| 5 |
此时，
| 5 |
| 6 |
| 8 |
| 5 |
| 5 |
| 3 |
| 8 |
| 5 |
| 32 |
| 15 |
| 40 |
| 15 |
| 38 |
| 15 |
| 14 |
| 5 |
点R不在抛物线上，所以，此时不成立，
（ii）BQ为对角线时，根据平行四边形的对边平行且相等，
点R的横坐标为2+
| 2 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
纵坐标为-（2-
| 4 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
此时，
| 5 |
| 6 |
| 12 |
| 5 |
| 5 |
| 3 |
| 12 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
点R在抛物线上，
所以，点R的坐标为（
| 12 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
（3）根据三角形三边关系，|MA-MD|＜DA，
所以，当点M为直线AD与对称轴交点时，M到D、A的距离之差最大，
此时，设直线AD的解析式为y=kx+b，
则
|
解得
|
所以，直线AD的解析式为y=
| 5 |
| 6 |
∵抛物线y=
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 3 |
-
| ||
2×
|
∴y=
| 5 |
| 6 |
| 7 |
| 6 |
∴点M的坐标为（1，-
| 7 |
| 6 |
点评：本题是二次函数的综合题型，主要涉及正方形的性质，待定系数法求函数解析式（二次函数解析式与直线解析式），相似三角形对应边成比例的性质，平行四边形的性质，三角形的三边关系，分情况讨论的思想，综合性较强，难度较大，但只要仔细分析认真求解，也不难解答．
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BE．