Question

研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y=x²+5x+90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p_甲，p_乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润=年销售额﹣全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，P_甲=﹣x+14，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润W_甲（万元）与x之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，P_乙=﹣+n（n为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是．

Answer 1

解：（1）甲地当年的年销售额为：
（﹣x+14）x=（﹣x²+14x）万元；
W_甲=（﹣x²+14x）﹣（x²+5x+90）=﹣x²+9x﹣90；
（2）在乙地区生产并销售时，年利润：
W_乙=﹣x²+nx﹣（x²+5x+90）=﹣x²+（n﹣5）x﹣90．
由，
解得：n=15或﹣5．经检验，n=﹣5不合题意，舍去，
∴n=15；
（3）在乙地区生产并销售时，年利润：
W_乙=﹣x²+10x﹣90，
将x=18代入上式，得W_乙=25.2（万元）；
将x=18代入W_甲=﹣x²+9x﹣90，得W_甲=23.4（万元）．
∵W_乙>W_甲，
∴应选乙地．