Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）过点C的直线y=kx+b与这个二次函数的图象相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，得到y=a（x-1）（x-5），把C的坐标代入就能求出a的值，即可得出二次函数的解析式；
（2）把E的坐标代入抛物线即可求出m的值，设直线EC的解析式是y=kx+b，把E、C的坐标代入就能求出直线EC，求直线EC与X轴的交点坐标，过E作EN⊥X轴于N，根据点的坐标求出△CBM和△BME的面积，相加即可得到答案．

解答：（1）解：∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（1，0）、B（5，0），
∴设y=ax²+bx+c=a（x-1）（x-5），
把C（0，5）代入得：5=5a，
解得：a=1，
∴y=（x-1）（x-5），
即y=x²-6x+5，
答：这个二次函数的解析式是y=x²-6x+5．

（2）y=x²-6x+5，
当x=4时，m=16-24+5=-3，
∴E（4，-3），
设直线EC的解析式是y=kx+b，
把E（4，-3），C（0，5）代入得：

-3=4k+b 5=b

，
解得：

k=-2 b=5

，
∴直线EC的解析式是y=-2x+5，
当y=0时0=-2x+5，
解得：x=

5

2

，
∴M的坐标是（

5

2

，0），
过E作EN⊥X轴于N，
∴EN=|-3|=3，BM=5-

5

2

=

5

2

，
∴S_△CBE=S_△CBM+S_△BME=

1

2

×

5

2

×5+

1

2

×

5

2

×3=10，
答：△CBE的面积S的值是10．

点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，三角形的面积等知识点，能求一次函数和二次函数的解析式是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目．