Question

【题目】综合与探究

如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其对称轴与抛物线交于点，与轴交于点．

（1）求点，，的坐标；

（2）点为抛物线对称轴上的一个动点，从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，过点作轴的平行线交抛物线于，两点（点在点的左边）.设点的运动时间为．

①当为何值时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形；

②连接，在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由；

③点在轴上，点为坐标平面内一点，以线段为对角线作菱形，当时，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）①当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形；②点从的坐标为或；③或．

【解析】

（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，利用配方法可求出抛物线顶点D的坐标；

（2）①由MN∥AB可得出当MN=AE时四边形MNEA为平行四边形，由点A，E的坐标结合二次函数的对称性可得出点M的横坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点M的坐标，结合点G的运动方向及速度，即可求出t值；

②过点M作MH⊥x轴，垂足为点H，设点M的坐标为（m，-m2+2m+6）（m＜2），则BH=6-m，MH=|-m2+2m+6|，由∠MBA=∠EDB结合正切的定义，可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，将其代入点M的坐标即可得出结论；

③设点M的坐标为（n，-n2+2n+6）（n＜2）时PQ=MN，结合题意可得出关于n的方程，解之即可得出n的值，将其代入点M的坐标可求出点M的坐标，再点G的运动方向及速度，即可求出t值．

解：（1）当时，，解得，，

点在点的左侧，则，.

∵，∴.

∴，，.

（2）①∵，

∴，.

∴，.

当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，，.

∵点，关于对称轴对称，∴.

∴点与点重合.∴.

∵，∴.∴.

∴当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形

②∵，∴.∴.

过点作轴于点.设点的坐标为，

则，，∴.

∵，∴.

∴，即.

如图（1），当点在轴上方时，，

∴，

解得，（不合题意，舍去）.

当时， ∴.

如图（2），当点在轴下方时，，

∴，解得，（不合题意，舍去）.

当时，.∴.

综上所述，点从的坐标为或.

③或

解析：点在轴上，四边形是菱形，

∴点与点重合，即，菱形对角线的交点为点.

∵，

∴.

∴.

设，则.

如图（3），当在轴上方时，.

∵点在的图象上，

∴，

∴

解得，（不合题意，舍去），

∴.

∴.

∴.

如图（4），当在轴下方时，.

∵点在的图象上，

∴.

∴.

解得，（不合题意，舍去），

∴.

∴.

∴.

综上所述，或