题目内容

如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，G为AD上一点，DG=CF．
（1）求证：△CEF∽△BFA； 
（2）求证：BD⊥GE．
分析：（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠ABF=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质可得：∠AFE=∠ADC=90°，然后由等角的余角相等，证得∠BAF=∠CFE，即可判定△CEF∽△BFA；
（2）由△CEF∽△BFA，DG=CF，易证得
DG
DE
=
AB
AD
，即可判定△DBA∽△EGD，继而可求得∠DGH+∠GDH=90°，则可得BD⊥GE．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABF=∠C=∠ADC=90°，
∴∠BAF+∠BFA=90°，
由折叠的性质可得：∠AFE=∠ADC=90°，
∴∠CFE+∠BFA=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△CEF∽△BFA；

（2）∵DG=CF，DE=EF，
∴cos∠EFC=
FC
EF
=
DG
DE
，
∵cos∠BAF=
AB
AF
=
AB
AD
，∠BAF=∠EFC，
∴
DG
DE
=
AB
AD
，
∴
DG
AB
=
DE
AD
，
∵∠BAD=∠GDE=90°，
∴△DBA∽△EGD，
∴∠DBA=∠EGD，
∵∠DBA+∠ADB=90°，
∴∠DGH+∠GDH=90°，
∴∠GHD=90°，
∴BD⊥GE．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
练习册系列答案
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28、操作与探究：
（1）图①是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按如图方法折叠，是点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE等腰三角形；
（2）再将图①中的△CBE沿对称轴EF折叠（如图②）．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图③中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图③中画出折痕；
（3）请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点（各小正方形的顶点）上；
（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形（其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上）．请你进一步探究，一个非特殊的四边形（指除平行四边形、梯形外的四边形）满足何条件时，一定能折成组合矩形？
5、如图，AD是△ABC的角平分线，将△ABC折叠使点A落在点D处，折痕为EF，则四边形AEDF一定是（　　）
20、按要求解答下列问题：
（1）图1是一块直角三角形纸片，将该三角形纸片按如图方法折叠，使点A与点C重合，DE为折痕，试证明△CBE为等腰三角形；
（2）再将图1中的△CBE沿对称轴EF折叠（如图2）．通过折叠，原三角形恰好折成两个完全重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝隙无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”，你能将图3中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图3中画出折痕；
（3）请你在图4的方格纸中画出一个斜三角形，使它同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点（各小正方形顶点）上．（画出一个即可）．
如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A、B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A、B两点的勾股点．同样，点D也是A、B两点的勾股点．

（1）在矩形ABCD中，AB=12，BC=6，边CD上A，B两点的勾股点的个数为
3
3
个；
（2）如图1，矩形ABCD中，AB=12，BC=6，DP=4，DM=8，AN=5．过点P作直线l平行于BC，点H为M、N两点的勾股点，且点H在直线l上，求PH的长；
（3）如图2，矩形ABCD中，AB=12，BC=6，将纸片折叠，折痕分别与CD、AB交于点F、G，若A、E两点的勾股点为BC边的中点M，求折痕FG的长．
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABC沿AC折叠，点B落在B′处，AB′交CD于E，P为AC上的一个动点，PH⊥AB′于H，PG⊥CD于G，则PG+PH的值为
3
3
．

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