Question

19．如图，直线y=2x-10分别与x轴，y轴交于点A，B，点C为OB的中点，抛物线y=-x²+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB上方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为$\frac{45}{2}$．
①求点D的坐标；
②点P为抛物线上一点，若△APD是以PD为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式求出A、B坐标，然后得出C点坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）①过D作DE∥y轴交AB于E，则S_△ABD=S_△BDE+S_△ADE=，设出D点的横标，纵坐标用横坐标表示，同时表示出E点坐标，从而得出△ABD的面积表达式，再根据△ABD的面积为$\frac{45}{2}$，列出方程解之即可；
②分两种情况：第一种，D为直角顶点；第二种，P为直角顶点．对于第一种情况，可以验证抛物线的顶点与D、A一起刚好构成直角三角形，即P点就是抛物线的顶点；对于第二种情况，过点P作GH∥x轴，DG⊥GH于G，AH⊥GH于H，由△DGP∽△PHA列出相似比例关系求解．

解答 解：（1）当y=0时，2x-10=0，解得x=5，则A（5，0），
当x=0时，y=2x-10=-10，则B（0，-10）
∵点C为OB的中点，
∴C（0，-5），
把A（5，0），C（0，-5）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-25+5b+c=0}\\{c=-5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+6x-5；
（2）①过D作DE∥y轴交AB于E，如图，

设D（x，-x²+6x-5），则E（x，2x-10），
∵S_△ABD=S_△BDE+S_△ADE=$\frac{1}{2}$×5×DE=$\frac{5}{2}$（-x²+6x-5-2x+10）
∴$\frac{5}{2}$（-x²+6x-5-2x+10）=$\frac{45}{2}$，
整理得x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，
∴D（2，3）；
②∵抛物线解析式为y=-x²+6x-5，
∴抛物线的顶点为M（3，4），
∴MD=$\sqrt{2}$，AD=3$\sqrt{2}$，AM=2$\sqrt{5}$，
∴MD²+AD²=AM²，
∴MD⊥AD，
若D为直角顶点，则P与M点重合，即P（3，4），如图，

此时P点到抛物线对称轴的距离为0；
若P为直角顶点，如图，

过点P作GH∥x轴，DG⊥GH于G，AH⊥GH于H，
∵∠APD=90°，
∴△DGP∽△PHA，
∴$\frac{DG}{GP}=\frac{PH}{AH}$，
设P（t，-t²+6t-5），则：
GP=t-2，DG=-t²+6t-5-3，PH=5-t，AH=-t²+6t-5，
∴$\frac{-{t}^{2}+6t-5-3}{t-2}=\frac{5-t}{-{t}^{2}+6t-5}$，
∴$\frac{-（t-2）（t-4）}{t-2}=\frac{t-5}{（t-1）（t-5）}$，
∴$\frac{4-t}{1}=\frac{1}{t-1}$，
∴t²-5t+5=0，
∴t=$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$，
∴P点坐标为（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$）；
若P点坐标为（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$），则P点到抛物线对称轴的距离为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
若P点坐标为（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$），则P点到抛物线对称轴的距离为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数图象上坐标点的特征，待定系数法求二次函数解析式，三角形面积的铅垂高表示法，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的判定与性质等重要知识点，综合性强，难度较大．对于最后一问，要注意两点：第一，分类讨论；第二，对于直角三角形这个条件的利用，很多同学可能会选择分别表示出三条边长，用勾股定理列出复杂的方程进行计算，这种想法虽然理论上可行，但计算量大，如果方程太复杂，可能会解不出来，大多数情况下，合理的做法是构造相似三角形，利用相似比例关系进行求解，这样做的好处在于使计算量大大降低．“能用相似就不用勾股”，这一原则在很多情况下是适用的．