如图.在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M.交x轴于A.B两点.交y轴于点C.其中点B的坐标为(3.0)．(1)求该抛物线的解析式,(2)设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D.且直线CD和直线CA关于直线BC对称.求直线CD的解析式,(3)点E为线段BC上的动点.以E为顶点作∠OEF=45°.射线EF交线段OC于点F.当△EOF为等腰三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+3的顶点为M（2，-1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；
（3）点E为线段BC上的动点（点E不与点C，B重合），以E为顶点作∠OEF=45°，射线EF交线段OC于点F，当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
（4）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM²+PB²+PC²=35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．

分析（1）利用顶点式，将已知的两点坐标代入其中进行求解即可；
（2）由C、B两点的坐标不难判断出OB=OC，即∠CBO=45°，那么若取BN⊥x轴交CD于N，结合“直线CD和直线CA关于直线CB对称”可得出A、N关于直线BC对称，结合点B的坐标以及AB的长即可得到点N的坐标，在明确C、N两点坐标的情况下，直线CD的解析式即可由待定系数法求得；
（4）先设出点P的坐标，而M、B、C三点坐标已知，即可得到PM²、PB²、PC²的表达式，结合题干的已知条件即可求出点P的坐标，从而进一步判断出直线OP与抛物线的交点个数．

解答解：（1）设抛物线的解析式为线Y=a（x-2）²-1．
∵点B（3，0）在抛物线上，∴0=a（3-2）²-1，
解得：a=1．
则该抛物线的解析式为：y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；

（2）在y=x²-4x+3中令x=0，得y=3．
故C（0，3）．
则OB=OC=3．
则∠ABC=45°．
过点B作BN⊥x轴交CD于点N（如图1），则∠ABC=∠NBC=45°．
∵直线CD和直线CA关于直线BC对称，
∴∠ACB=∠NCB，
在△ACB和△NCB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NCB=∠ACB}\\{CB=CB}\\{∠NBC=∠ABC}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△NCB（ASA）．
∴BN=BA．
∵A，B关于抛物线的对称轴x=2对称，B（3，0），
∴A（1，0）．∴BN=BA=2．∴N（3，2）．
设直线CD的解析式为：y=kx+3，
则2=3k+3，
解得：k=-$\frac{1}{3}$，
则直线CD的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+3；

（3）当EF=OF时，E（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
当OE=EF时，证明△OBE≌△ECF，E（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{6-3\sqrt{2}}{2}$）；

（4）设P（2，p），∵M（2，-1），B（3，0），C（0，3），
∴根据勾股定理，得PM²=（p+1）²=p²+2p+1，PB²=（3-2）²+p²=p²+1，
PC²=2²+（p-3）²=p²-6p+13，
∵PM²+PB²+PC²=35，
∴p²+2p+1+p²-6p+13=35，
整理，得3p²-4p-20=0，
解得：p₁=-2，p₂=$\frac{10}{3}$．
∴P（2，-2）或（2，$\frac{10}{3}$）．
当P（2，$\frac{10}{3}$）时，直线OP：y=$\frac{5}{3}$x，联立抛物线的解析式有：$\frac{5}{3}$x=x²-4x+3，
解得△＞0，与该抛物线有2个交点；
当P（2，-2）时，直线OP：y=-x，联立抛物线的解析式有：
x²-4x+3=-x，即 x²-3x+3=0
△=（-3）²-4×3＜0，
故该直线与抛物线没有交点；
综上，当P（2，$\frac{10}{3}$）时，直线OP与抛物线有两个交点；当P（2，-2）时，直线OP与抛物线没有交点．