题目内容

（2004•黑龙江）已知：如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C的坐标为（0，6），AB=15，∠CBA＞∠CAB，且tan∠CAB、tan∠CBA是关于x的方程x2+mx+n=0的两根，
（1）求m、n的值．
（2）若∠ACB的角平分线交x轴于D，求直线CD的解析式．
（3）在（2）的条件下，直线CD上是否存在点M，过M点作BC的平行线，交y轴于N，使以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】分析：（1）由题意，可知OC=6，AB=15，据直角三角形的图象关系，可得：OC2=OA•OB，OB=AB-OA，解方程可的OA、OB的值，tan∠CAB、tan∠CBA可求，又∠CBA＞∠CAB，且tan∠CAB、tan∠CBA是关于x的方程x2+mx+n=0的两根，故m、n可求．
（2）过D点DE⊥AC，垂足为E，
因为∠ACB的角平分线交x轴于D，所以∠DCE=∠EDC=45°，CE=DE；由OA=12，OB=3，得AC=；BC=，令DE=CE=y，则，即AD=①，又CD=y，AE=AC-CE=-y，可得AD==②，由①②可得：，∴AD=10，∴OD=2，∴D点坐标为（-2，0），从而直线CD的解析式可求．
（3）存在，M1（3，15），M2（-3，-3）．
解答：解：（1）∵∠B+∠A=90°，∠B+∠BCO=90°，
∴∠A=∠BCO，∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB
∴，
∴OC2=OA•OB，
又∵OB=AB-OA，
∴，解得OA=12或3，由∠CBA＞∠CAB
∴OA=12，OB=3．
∴tan∠CAB=，tan∠CBD=2，
∵tan∠CAB、tan∠CBA是关于x的方程x2+mx+n=0的两根，
∴+n=0①，4+2m+n=0②；
解①②组成的方程组，得：m=，n=1．

（2）过D点DE⊥AC，垂足为E，
∵∠ACB的角平分线交x轴于D，
∴∠DCE=∠EDC=45°，CE=DE；
∵OA=12，OB=3，
∴AC=；BC=，令DE=CE=y，
则，
∴AD=①，又CD=y，AE=AC-CE=-y，
∴AD==②，
由①②可得：，
∴AD=10，
∴OD=2，
∴D点坐标为（-2，0），
设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（0，6），D（-2，0）代入解得：k=3，b=6，
∴y=3x+6．

（3）存在，M1（3，15），M2（-3，-3）
点评：本题是代数与几何相结合的综合考查题，所用到的知识面广，难度较大．
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