Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC．

(1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF；

(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）直线l与⊙O相切，理由详见解析；（2）详见解析；（3）．

【解析】

（1）连接OE，由题意可证明，根据垂径定理的推论可证明OE⊥BC，于是可证明OE⊥l，故可证明直线l与⊙O相切；

（2）先由角平分线的定义可知∠ABF＝∠CBF，然后再证明∠CBE＝∠BAF，于是可得到∠EBF＝∠EFB，最后依据等角对等边证明BE＝EF即可；

（3）先求得BE的长，然后证明△BED∽△AEB，由相似三角形的性质可求得AE的长，于是可得到AF的长．

解：（1）直线l与⊙O相切；

理由：如图所示：连接OE，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAE，

∴，

∴OE⊥BC，

∵l∥BC，

∴OE⊥l，

∴直线l与⊙O相切；

(2)∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

又∵∠CBE＝∠CAE＝∠BAE，

∴∠CBE＋∠CBF＝∠BAE＋∠ABF．

又∵∠EFB＝∠BAE＋∠ABF，

∴∠EBF＝∠EFB，

∴BE＝EF；

(3)由(2)，得BE＝EF＝DE＋DF＝7，

∵∠DBE＝∠BAE，∠DEB＝∠BEA，

∴△BED∽△AEB，

∴，即，

解得AE＝，

∴AF＝AE－EF＝－7＝．