Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．
（1）求b、c的值；
（2）P为抛物线上的点，且满足S_△PAB=8，求P点的坐标；
（3）设抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线y=x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（-1，0），B（3，0），求得b，c值；（2）设点P的坐标为（x，y），求得y值，分别代入从而求得点P的坐标；（3）由AC长为定值，要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．又能求得由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得BC的直线，从而求得点Q的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（-1，0），B（3，0），
∴

(-1)2-b+c=0 32+3b+c=0

，
解之，得

b=-2 c=-3

，
∴所求抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）设点P的坐标为（x，y），由题意，得
S_△ABC=

1

2

×4×|y|=8，
∴|y|=4，
∴y=±4，
当y=4时，x²-2x-3=4，
∴x₁=1+2

2

，x₂=1-2

2

，
当y=-4时，x²-2x-3=-4，
∴x=1，
∴当P点的坐标分别为(1+2

2

 ， 4)、(1-2

2

 ， 4)、（1，-4）时，S_△PAB=8；

（3）在抛物线y=x²-2x-3的对称轴上存在点Q，使得△QAC的周长最小．
∵AC长为定值，
∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．
∵点A关于对称轴x=1的对称点是B（3，0），
∴由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，
抛物线y=x²-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，-3），设直线BC的解析式为y=kx-3．
∵直线BC过点B（3，0），
∴3k-3=0，
∴k=1．
∴直线BC的解析式为y=x-3，
∴当x=1时，y=-2．
∴点Q的坐标为（1，-2）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，（1）抛物线y=x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（-1，0），B（3，0），很容易得到b，c值；（2）设点P的坐标为（x，y），求得y值，分别代入从而求得点P的坐标；（3）由AC长为定值，要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．又能求得由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得BC的直线，从而求得点Q的坐标．本题有一定难度，需要考虑仔细，否则漏解．