题目内容
8．
如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足（a-b）2+$\sqrt{{b}^{2}-16}$=0（1）求A、B两点的坐标；
（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证：∠BDO=∠EDA；
（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．
分析 （1）根据“若非负数的和等于0，则这些非负数都等于0”可求出a、b的值，从而可得到A、B两点的坐标；
（2）过点E作EN⊥x轴于N，如图1，要证∠BDO=∠EDA，只需证△END∽△BOD，只需证$\frac{EN}{DN}$=$\frac{BO}{DO}$，易证AN=EN，设EN=x，则有AN=x，ON=4-x，易证△ONE∽△BOD，然后运用相似三角形的性质可得到关于x的方程，然后求出x就可解决问题；
（3）易证∠BAO=∠BMP=45°，由此可得A、P、M、B四点共圆，根据圆周角定理可得∠MAP=∠MBP=45°，进而可得∠OQA=∠OAQ=45°，即可得到OQ=OA=4．
解答 解：（1）∵（a-b）2+$\sqrt{{b}^{2}-16}$=0，
∴a-b=0，b2-16=0．
∵a＞0，b＞0，
∴a=b=4，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4）；
（2）过点E作EN⊥x轴于N，如图1，
则有EN∥OB，
∴△ANE∽△AOB，
∴$\frac{AN}{NE}$=$\frac{AO}{OB}$=1，
∴AN=NE．
设EN=x，则有AN=x，ON=4-x．
∵OE⊥BD，EN⊥OA，OA⊥OB，
∴∠BOD=∠ONE=90°，∠OBD=∠NOE=90°-∠ODH，
∴△ONE∽△BOD，
∴$\frac{EN}{DO}$=$\frac{ON}{BO}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{4-x}{4}$，
解得：x=$\frac{4}{3}$．
∴AN=EN=$\frac{4}{3}$，DN=AD-AN=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{EN}{DN}$=2=$\frac{BO}{DO}$，
又∵∠BOD=∠END=90°，
∴△END∽△BOD，
∴∠EDA=∠BDO；
（3）如图2，
∵OA=OB，∠AOB=90°，PB=PM，∠BPM=90°，
∴∠BAO=∠BMP=45°，
∴A、P、M、B四点共圆，
∴∠MAP=∠MBP=45°，
∴∠OAQ=∠MAP=45°，
∴∠OQA=90°-45°=45°=∠OAQ，
∴OQ=OA=4．
∴当点P在x轴上运动时，线段OQ的长不变，等于4．
点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、解一元一次方程、非负数等知识，解决第2小题的关键是把证明∠BDO=∠EDA转化为证明△END∽△BOD，解决第3小题的关键是通过证明A、P、M、B四点共圆得到∠MAP=∠MBP=45°．
如图，在△ABC中，点M在边AB上，AM=CM，DM⊥AC，且DM∥BC，说明△CMB是等腰三角形．
| A． | 120° | B． | 135° | C． | 150° | D． | 165° |