Question

【题目】如图，在中，，是角平分线，平分交于点，经过两点的交于点，交于点，恰为的直径．

(1)求证：与相切；

(2)当时，求的半径．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)．

【解析】

(1)连接OM，证明OM∥BE，再结合等腰三角形的性质说明AE⊥BE，进而证明OM⊥AE；

(2)结合已知求出AB，再证明△AOM∽△ABE，利用相似三角形的性质计算．

(1)连接OM，则OM=OB，

∴∠1=∠2，

∵BM平分∠ABC，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OM∥BC，

∴∠AMO=∠AEB，

在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，

∴AE⊥BC，

∴∠AEB=90°，

∴∠AMO=90°，

∴OM⊥AE，

∵点M在圆O上，

∴AE与⊙O相切；

(2)在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，

∴BE=BC，∠ABC=∠C，

∵BC=4，cosC=

∴BE=2，cos∠ABC=，

在△ABE中，∠AEB=90°，

∴AB==6，

设⊙O的半径为r，则AO=6-r，

∵OM∥BC，

∴△AOM∽△ABE，

∴∴，

∴，

解得，

∴的半径为．