Question

【题目】阅读材料：“直角三角形如果有一个角等于 ，那么这个角所对的边等于斜边的一半”，即“在中，，则”．利用以上知识解决下列问题：如图，已知是的平分线上一点．

（1）若与射线分别相交于点,且．

①如图1，当时，求证： ；

②当时，求的值．

（2）若与射线的反向延长线、射线分别相交于点，且，请你直接写出线段三者之间的等量关系．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②；（2）OM-ON=

【解析】

（1）①根据题意证明CNO=90°及∠COM=∠CON=30°，可利用题目中信息得到OM=ON，再利用勾股定理即可解答；

②证明△COM≌CON，得到∠CMO=∠CNO=90°，再利用①中结论即可；

（2）根据题意作出辅助线，再证明△MCE≌△NCF（ASA），得到NF=ME，由30°直角三角形的性质得到OE=OF=，进而得到OM-ON=即可．

（1）①证明：∵CM⊥OA，

∴∠CMO=90°，

∵，∠MCN=120°，

∴∠CNO=360°-∠CMO-∠AOB-∠MCN=90°，

∵C是∠AOB平分线上的一点，

∴CM=CN，∠COM=∠CON=30°，

∵OC=2，

∴CM=CN=1，

由勾股定理可得：OM=ON=，

∴

②当时，

∵OC是∠AOB的平分线，

∴∠COM=∠CON=30°，

在△COM与CON中

∴△COM≌CON（SAS）

∴∠CMO=∠CNO

∵∠AOB=60°，∠MCN=120°，

∴∠CMO+∠CNO=360°-60°-120°=180°

∴∠CMO=∠CNO=90°，

又①可知

（2）如图所示，作CE⊥OA于点E，作CF⊥OB于点F，

∵∠AOB=60°，

∴∠ECF=120°，

又∵∠MCN=120°，

∴∠MCE+∠ECN=∠NCF+∠ECN

∴∠MCE=∠NCF

∵OC是∠AOB的平分线，

∴∠COM=∠CON=30°，CE=CF

∴在△MCE与△NCF中，

∴△MCE≌△NCF（ASA）

∴NF=ME

又∵△OCE≌△OCF，∠COM=∠CON=30°，

∴CE=CF=

∴OE=OF=

∴OM-OE=ON+OF，

∴OM-ON=OE+OF=，

故答案为：OM-ON=