Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，以点C为圆心的圆与AB相切．
（1）求⊙C的半径；
（2）O是AB的中点，请判断点O与⊙C的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）过C点作CD⊥AB，垂足为D，首先利用勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积为定值求出CD的长即可⊙C的半径；
（2）点O在⊙C外，利用直角三角形斜边上的中线性质可求出CO的长，再和圆的半径比较大小．

解答：解：（1）过C点作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ABC中，AC=

AB2-BC2

=

52-32

=4，
∴S△ABC=

1

2

•AC•BC=

1

2

•AB•CD，
∴

1

2

×4×3=

1

2

×5•CD
∴CD=

12

5

，
由题意，AB与⊙C相切，且CD⊥AB，
∴CD是⊙C的半径，
即r=CD=

12

5

；

（2）答：点O在⊙C外，理由如下：
连接OC，
在Rt△ABC中，O是斜边AB的中点，
∴OC=

1

2

AB=

5

2

＞

12

5

，
∴点O在⊙C外．

点评：本题考查了勾股定理的运用、三角形的面积公式以及圆和直线的位置关系、点和圆的位置关系，题目综合性很好，难度不大．